本系列博文如下：

模型常数

由标准 $k-\varepsilon$ 模型1变换得到的 $k$ 和 $\omega$ 方程如下：

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial(\rho k)}{\partial t} + \frac{\partial(\rho u_j k)}{\partial x_j} =& P - C_\mu \rho \omega k + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \left( \mu + \frac{\mu_t}{\sigma_k} \right) \frac{\partial \omega}{\partial x_j} \right] \end{aligned} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial(\rho \omega)}{\partial t} + \frac{\partial(\rho u_j \omega)}{\partial x_j} =& (C_{1\varepsilon} - 1) \frac{\omega}{k} P - (C_{2\varepsilon} - 1) C_\mu \rho \omega^2 + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \left( \mu + \frac{\mu_t}{\sigma_\varepsilon}\right) \frac{\partial \omega}{\partial x_j} \right] \newline &+ {\color{red} \frac{2\rho}{\sigma_\varepsilon} \frac{1}{\omega} \frac{\partial k}{\partial x_j} \frac{\partial \omega}{\partial x_j}} \end{aligned} \label{eq:omegaeqn-1} \end{equation} $$

Wilcox 模型2中的 $k$ 和 $\omega$ 方程如下

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial(\rho k)}{\partial t} + \frac{\partial(\rho u_j k)}{\partial x_j} =& P - \beta^\ast \rho \omega k + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \left( \mu + \sigma^\ast \mu_t \right) \frac{\partial \omega}{\partial x_j} \right] \end{aligned} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial(\rho \omega)}{\partial t} + \frac{\partial(\rho u_j \omega)}{\partial x_j} =& \gamma \frac{\omega}{k} P - \beta \rho \omega^2 + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \left( \mu + \sigma \mu_t \right) \frac{\partial \omega}{\partial x_j} \right] \end{aligned} \end{equation} $$

注意变换后的 $\omega$ 方程多出了一项红色的交叉耗散项（Cross-diffusion term)。

标准 $k-\varepsilon$ 的模型常数如下：

$C_\mu$ $C_{1\varepsilon}$ $C_{2\varepsilon}$ $\sigma_k$ $\sigma_\varepsilon$
0.09 1.44 1.92 1.0 1.3

Wilcox $k-\omega$ 的模型常数如下：

$\beta$ $\beta^\ast$ $\gamma$ $\gamma^\ast$ $\sigma$ $\sigma^\ast$
3/40 9/100 5/9 1 1/2 1/2

定义新的模型常数符号，用下标1表示 Wilcox $k-\omega$ 模型，下标2表示标准 $k-\varepsilon$ 模型，如下：

新模型常数 旧模型常数 值
$\sigma_{k1}$ $\sigma^\ast$ 0.5
$\sigma_{k2}$ $1/\sigma_k$ 1
$\sigma_{\omega1}$ $\sigma$ 0.5
$\sigma_{\omega2}$ $1/\sigma_\varepsilon$ 0.77 (文献中取0.856，存疑？)
$\beta_1$ $\beta$ 3/40
$\beta_2$ $(C_{2\varepsilon}-1) C_\mu$ 0.0828
$\gamma_1$ $\gamma$ 5/9
$\gamma_2$ $C_{1\varepsilon}-1$ 0.44

混合函数

为了实现标准 $k-\varepsilon$ 和 $k-\omega$ 的结合，需要设计混合函数，该混合函数需要实现如下效果：在近壁面处使用对逆压梯度效果较好的 $k-\omega$ 模型，在其他地方使用对来流参数不敏感的 $k-\varepsilon$ 模型。混合函数记为 $F_1$，其取值在 0-1 之间，在近壁面处的边界层内 $F_1$ 均应该趋近于1，在边界层外和远离壁面的区域内，$F_1$应趋近于0。

Menter3采用正切函数来定义混合函数：

$$ \begin{equation} F_1 = \tanh(\text{arg}_1^4) \end{equation} $$

其中，$\text{arg}_1$ 的定义如下：

$$ \begin{equation} \text{arg}_ % workaround for hugo incompatibility 1 = \min \left(\max \left(\frac{\sqrt{k}}{0.09 \omega y} , \frac{500 \nu}{y^{2} \omega}\right) , \frac{4 \rho \sigma_{\omega 2} k}{C D_{k \omega} y^{2}}\right) \end{equation} $$

上式中，第一项为湍流长度尺度 $L_t = {\sqrt{k}}/(C_\mu \omega)$ 与壁面距离 $y$ 之比。在对数区内，$L_t/y = 2.5$，从对数区到在边界层边缘，该值逐渐变为0。第二项是限制项，确保 $F_1$ 在粘性底层不会变为 0。第三项也是限制项，可以消除原始 $k-\omega$ 模型中 $\omega$ 方程对入流参数选取敏感的问题。

$CD_{k \omega}$ 为交叉耗散项，定义如下：

$$ \begin{equation} C D_{k \omega}=\max \left(2 \rho \sigma_{\omega 2} \frac{1}{\omega} \frac{\partial k}{\partial x_{j}} \frac{\partial \omega}{\partial x_{j}}, 10^{-20}\right) \end{equation} $$

  1. Launder, B. E., & Sharma, B. (1974). Application of the energy-dissipation model of turbulence to the calculation of flow near a spinning disc. Letters in Heat and Mass Transfer, 1(2), 131–137. https://doi.org/10.1016/0094-4548(74)90150-7 ↩︎

  2. Wilcox, D. C. (1988). Reassessment of the scale-determining equation for advanced turbulence models. AIAA Journal, 26(11), 1299–1310. https://doi.org/10.2514/3.10041 ↩︎

  3. Menter, F. R. (1994). Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engineering applications. AIAA Journal, 32(8), 1598–1605. https://doi.org/10.2514/3.12149 ↩︎