kOmegaSST 模型的由来（三）：BSL 模型和 SST 模型

本系列博文如下：

• kOmegaSST 模型的由来（一）：从 epsilon 到 omega 方程
• kOmegaSST 模型的由来（二）：模型常数和混合函数
• kOmegaSST 模型的由来（三）：BSL 模型和 SST 模型

BSL 模型

Menter (1994) ¹ 实际上提出了 BSL 和 SST 两个模型，BSL 知名度不如 SST。目前，大部分商业和开源 CFD 软件中提供的都是 SST 模型。这里先介绍 BSL 模型。

BSL 模型利用混合函数 $F_1$，将 Wilcox $k-\omega$ 模型和标准 $k-\varepsilon$ 模型变换后的输运方程混合，混合后的输运方程可以写为如下形式：

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial(\rho k)}{\partial t} + \frac{\partial(\rho u_j k)}{\partial x_j} =& P - \beta^\ast \rho \omega k + \frac{\partial}{\partial x_j} \left\lbrace \left[ \mu + (F_1\sigma_{k1} + (1-F_1) \sigma_{k2}) \mu_t \right] \frac{\partial k}{\partial x_j} \right\rbrace \end{aligned} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial(\rho \omega)}{\partial t} + \frac{\partial(\rho u_j \omega)}{\partial x_j} =& [F_1\gamma_{1} + (1-F_1) \gamma_{2}] \frac{\omega}{k} P \newline &- [F_1\beta_{1} + (1-F_1) \beta_{2}] \rho \omega^2 \newline &+ \frac{\partial}{\partial x_j} \left\lbrace \left[ \mu + (F_1\sigma_{\omega1} + (1-F_1)\sigma_{\omega2}) \mu_t \right] \frac{\partial \omega}{\partial x_j} \right\rbrace \newline &+ {\color{red} 2\rho \sigma_{\omega2} (1-F_1) \frac{1}{\omega} \frac{\partial k}{\partial x_j} \frac{\partial \omega}{\partial x_j}} \end{aligned} \end{equation} $$

方程中的所有模型常数数均可以表示为 $F_1 \phi_1 + (1-F_1)\phi_2$ 的形式，为了简化，用 $\phi$ 来表示混合后的模型常数，于是方程改写为：

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial(\rho k)}{\partial t} + \frac{\partial(\rho u_j k)}{\partial x_j} =& P - \beta^\ast \rho \omega k + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \left( \mu + \sigma_{k} \mu_t \right) \frac{\partial k}{\partial x_j} \right] \end{aligned} \end{equation} $$

$$ \begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial(\rho \omega)}{\partial t} + \frac{\partial(\rho u_j \omega)}{\partial x_j} =& \gamma \frac{\omega}{k} P - \beta \rho \omega^2 + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \left( \mu + \sigma_{\omega} \mu_t \right) \frac{\partial \omega}{\partial x_j} \right] \newline &+ {\color{red} 2\rho \sigma_{\omega2} (1-F_1) \frac{1}{\omega} \frac{\partial k}{\partial x_j} \frac{\partial \omega}{\partial x_j}} \end{aligned} \end{equation} $$

湍流粘度采用如下定义方式：

$$ \begin{equation} \mu_t = \frac{\rho k}{\omega} \end{equation} $$

SST 模型

SST 模型改善了逆压梯度的预报能力，SST 模型大部分与 BSL 模型相同，除了部分模型常数和 $\mu_t$ 的定义。

SST 模型将原始的 $\sigma_{k1} = 0.5$ 改为 $\sigma_{k1} = 0.85$，其余模型常数保持不变，即：

SST 模型重新定义了 $\mu_t$，如下

$$ \begin{equation} \mu_t = \frac{a_1 \rho k}{\max(a_1 \omega, \Omega F_2) } \end{equation} $$

其中，$\alpha_1 = 0.31$ 是模型常数，$\Omega$ 是涡量大小，$F_2$ 是第二个混合函数，也采用正切函数形式

$$ \begin{equation} F_2 = \tanh (\text{arg}_2^2) \end{equation} $$

$\text{arg}_2$ 采用与 $\text{arg}_1$ 类似的形式

$$ \begin{equation} \text{arg}_ % workaround for hugo incompatibility 2 = \max \left(2\frac{\sqrt{k}}{0.09 \omega y} , \frac{500 \nu}{y^{2} \omega}\right) \end{equation} $$

原始文献¹中提到，由于 $\mu_t$ 被重新定义了，因此 $\omega$ 方程产生项中的 $\omega/k$ 不能写作 $1/\mu_t$。

实际上，在推导交叉耗散项时，也用到了原始 $\mu_t$ 的定义，不过可能这一项的影响不大，所以 Menter 没有提到（存疑，有待求证）。

SST2003 模型

Menter (2003) ² 对 SST 进行了修补改进，具体如下：

• $C D_{k \omega}$ 中限制器的值由 $10^{-20}$ 变为 $10^{-10}$，即

$$ \begin{equation} C D_{k \omega}=\max \left(2 \rho \sigma_{\omega 2} \frac{1}{\omega} \frac{\partial k}{\partial x_{j}} \frac{\partial \omega}{\partial x_{j}}, 10^{-10}\right) \end{equation} $$

• $k$ 方程的产生项增加限制器（$\omega$ 方程中的产生项同步更新），即

$$ \begin{equation} \tilde P = \min (P, 10 \beta^\ast \rho k \omega) \end{equation} $$

• $\mu_t$ 中的涡量 $\Omega$ 改为速度应变率的不变测度 $S$，即

$$ \begin{equation} \mu_t = \frac{a_1 \rho k}{\max(a_1 \omega, S F_2) } \end{equation} $$

（完）